공업수학 - First Order ODEs

https://youtu.be/rKiBSJ6a4mY?si=IBiA2UN8o3yXtbGr

https://youtu.be/eQKd-e4lFkI?si=QKS7fuZfiI1N8u7y

 

 

위의 영상을 참고하였음을 밝힙니다..!

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1계 ODE - 변수분리

개념 정리

1계 미분방정식을 풀 때, 가장 기본적인 방법 중 하나는 변수분리이다.

변수분리 단계

1. 주어진 미분방정식을 아래의 형태로 쓴다.
   \[\frac{dy}{dx} = y'\]
   
   
2. $ x $는 $ x $끼리, $ y $는 $ y $끼리 정리한다.
3. 양 변을 각각 적분하여 일반 해를 구한다.

예시

\[ y' = y \]

이 방정식을 변수분리법으로 풀어보면

\[\frac{1}{y} dy = dx\]

양 변을 적분

\[\int \frac{1}{y} dy = \int dx\]

적분 결과

\[\ln|y| = x + C\]

양 변에 $e$를 취하여 일반 해를 구하면

\[|y| = e^{x+C} = C e^x\]

따라서, 해는

\[y = C e^x\]

초기 조건

초기 조건 $ y(0) = 1 $이 주어졌을 때, 이를 대입하면:

\[C = 1\]

따라서, 특수해는 이런식으로 구할 수 있다.

\[y = e^x\]

 

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1계 ODE - 치환 변수 활용

개념 정리

미분방정식에서 변수치환을 활용하면 복잡한 방정식을 쉽게 풀 수 있습니다. $ v = \frac{y}{x} $와 같은 치환을 사용하여 풀어보자!

예시

주어진 미분방정식

\[2x y' = x^2 + y^2\]

를 치환을 사용

$ y = u x $로 치환하면,\[y' = u' x + u\]

따라서,

\[2 x (u'x + u) = x^2 + u^2 x^2\]

이 방정식을 풀면,

\[u^2 - x^2 = C x\]

최종적으로

\[y^2 - x^2 = C x\]

형태로 정리할 수 있다.

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1계 ODE - 선형 상미분 방정식 (Homogeneous Linear ODE)

주어진 선형 상미분 방정식

\[y' + P(x)y = 0\]

이 방정식을 풀기 위해, 양변 정리

\[\frac{1}{y} y' = -P(x)\]

양 변을 적분

\[\int \frac{1}{y} dy = -\int P(x) dx\]

적분 결과는 다음과 같다.

\[\ln|y| = -\int P(x) dx + C\]

따라서

\[y_n = C e^{-\int P(x) dx}\]

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1계 ODE - 비동차 선형 상미분 방정식 (Non-homogeneous Linear ODE)

비동차 선형 상미분 방정식의 형태는 다음과 같다.

\[y' + P(x)y = r(x)\]

이를 풀기 위해 적분 인자 $F = e^{\int P(x) dx}$를 도입한다. 적분 인자 $F$를 사용하여 방정식을 다음과 같이 변환!

\[F y' + F P(x) y = F r(x)\]

이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[\frac{d}{dx}(F y) = F r(x)\]

양변을 적분하자

\[F y = \int F r(x) dx + C\]

따라서

\[y = \frac{1}{F} \left( \int F r(x) dx + C \right)\]

적분 인자를 대입하면 특수해는 다음과 같다.

\[y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int e^{\int P(x) dx} r(x) dx + C \right)\]

최종 해

비동차 선형 상미분 방정식의 최종 해는 다음과 같다.

\[y = y_n + y_p\]

여기서 $y_n$은 동차방정식의 일반해이고, $y_p$는 비동차 방정식의 특수해이다.

따라서

\[y = C e^{-\int P(x) dx} + e^{-\int P(x) dx} \left( \int e^{\int P(x) dx} r(x) dx + C \right)\]