Laplace transform

https://youtu.be/yO3vj5vPHZw?si=1bx5GAdNzzQihU1I

 

https://youtu.be/lQuUkhAg_rc?si=a1f6wt56-UfeEapK

 

위의 영상을 참고하였음을 밝힙니다..!

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Laplace transform

라플라스 변환과 기본 공식

라플라스 변환은 시간 영역에서 주어진 함수 \( f(t) \)를 주파수 영역의 함수 \( F(s) \)로 변환하는 도구입니다. 기본 공식은 다음과 같습니다:

\[L\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt = F(s)\]

다음은 몇 가지 기본적인 라플라스 변환 공식입니다:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
f(t) & F(s) \\
\hline
1 & \frac{1}{s} \\
t & \frac{1}{s^2} \\
t^2 & \frac{2}{s^3} \\
t^n & \frac{n!}{s^{n+1}} \\
\cos(\omega t) & \frac{s}{s^2 + \omega^2} \\
\sin(\omega t) & \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \\
e^{at} & \frac{1}{s - a} \\
\hline
\end{array}
\]

라플라스 변환은 주로 선형 성질을 갖고 있어, 함수가 미분될 때마다 그에 해당하는 \( s \) 항이 추가되므로 복잡한 미분방정식도 쉽게 풀 수 있습니다.

라플라스 변환의 활용 예시

라플라스 변환은 다양한 분야에서 활용되며, 특히 시스템 해석과 제어에 유용합니다. 예를 들어, 주어진 함수 \( \cos(2t) \)에 대해 라플라스 변환을 적용하면 다음과 같습니다:

\[
L\{\cos(2t)\} = \frac{s}{s^2 + 4}
\]

또한, \( e^{3t}\cos(2t) \)에 대해서는 다음과 같은 라플라스 변환을 적용할 수 있습니다:

\[
L\{e^{3t} \cos(2t)\} = \frac{s-3}{(s-3)^2 + 4}
\]

 

부분 분수 분해를 통한 상수 A, B, C 구하기

라플라스 변환을 사용하여 미분방정식을 풀 때, 일부 복잡한 분수 형태는 부분 분수로 분해하여 상수 A, B, C를 구해야 합니다. 다음은 부분 분수 분해를 통해 상수를 구하는 방법들입니다:

1. 통분 계수 비교법
2. 근 대입법
3. 극한법

예를 들어, 다음과 같은 형태의 함수가 있다고 가정합시다:

\[
\frac{1}{s^2(s-1)}
\]

이를 부분 분수로 분해하면 다음과 같은 형식을 가집니다:

\[
\frac{A}{s} + \frac{B}{s-1}
\]

이와 같은 방법으로 상수 A, B를 구하면 간단하게 역 라플라스 변환을 적용할 수 있습니다.

 

라플라스 변환을 사용한 미분방정식 풀이 과정

다음은 주어진 미분방정식을 라플라스 변환을 통해 풀 때의 일반적인 절차입니다:

1. 주어진 미분방정식에 라플라스 변환을 적용합니다.
2. 출력 \( Y(s) \)에 대해 방정식을 정리합니다.
3. 원하는 해를 주파수 영역에서 표현합니다.
4. 역 라플라스 변환을 통해 시간 영역의 \( y(t) \)를 구합니다.

각 미분 항에 대한 라플라스 변환은 다음과 같이 정의됩니다:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
f(t) & F(s) \\
\hline
y & Y(s) \\
y'(t) & sY(s) - y(0) \\
y''(t) & s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) \\
\hline
\end{array}
\]

이를 통해 복잡한 미분방정식도 간단한 대수적 방정식으로 변환되어 해를 쉽게 구할 수 있습니다.